고유치와 고유벡터

고유치와 고유벡터 

일반적으로 행렬은 크기와 방향이 변하는 벡터와 같다고 볼 수 있다. 

그러나 엄밀한 의미에서  행렬은 방향은 불변이고 크기만 변하는 벡터로 보는 것이 타당하다. 이러한 벡터를 고유벡터라고 한다.

고유치(eigenvalue)

행렬 A가 N x N 차원의 정방행렬이고 정칙행렬이면, 고유치는 다음과 같은 고유치 방정식을 만족하는 스칼라 이다. 

AX=X (X≠0, X는 nontrivial solution 비자명해)

(A-I)X=0

det(A-I)=a0^n+a1^(n-1)...+an = 0 

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det?란 무엇일까?

선형대수학에서, 행렬식(行列式, 영어: determinant 디터미넌트^[*])은 정사각행렬에 수를 대응시키는 함수의 하나이다. 대략, 정사각행렬이 나타내는 선형 변환이 부피를 확대시키는 정도를 나타낸다.

${\displaystyle \operatorname {det} \!{}_{1}{\begin{pmatrix}a\end{pmatrix}}=a\operatorname {det} \!{}_{0}{\begin{pmatrix}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \operatorname {det} \!{}_{2}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=a\operatorname {det} \!{}_{1}{\begin{pmatrix}d\end{pmatrix}}-b\operatorname {det} \!{}_{1}{\begin{pmatrix}c\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \operatorname {det} \!{}_{3}{\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}=a\operatorname {det} \!{}_{2}{\begin{pmatrix}e&f\\h&i\end{pmatrix}}-b\operatorname {det} \!{}_{2}{\begin{pmatrix}d&f\\g&i\end{pmatrix}}+c\operatorname {det} \!{}_{2}{\begin{pmatrix}d&e\\g&h\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \cdots }$

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위의 특성방정식을 만족하는 특성근,

주어진 행렬 A의 고유치 는 1,2,3 ---- n으로 n개이고, 

12---n=det(A)

모든 고유치의 곱은 행렬 A의 행렬식과 같다.

고유벡터 

고유벡터(eigenvector)는 고유치가 단근이냐 중근이냐에 따라 그 정의가 다르다.

<고유치가 단근인 경우> (λ1≠λ1≠λ1...≠λn)

행렬 A의 i번째 고유치 λ1에 대해, 다음을 만족하는 벡터 n x 1 차원의 Xi를 행렬 A의 고유벡터라고 한다. 

AXi = λiXi